Hàm số bậc hai và đồ thị – Lý thuyết, ví dụ có lời giải (Toán 10)
Cập nhật 17/10/2026 · 0 lượt xem
1. Khái niệm hàm số bậc hai
Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức $y = ax^2 + bx + c$, trong đó $a, b, c$ là các hằng số và $a \ne 0$. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$. Biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac$ quyết định đồ thị có cắt trục hoành hay không.
2. Đồ thị là một parabol
Các yếu tố cần nhớ của parabol $y = ax^2 + bx + c$:
- Đỉnh $I\left(-\dfrac{b}{2a};\ -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$; có thể tính tung độ đỉnh bằng cách thay $x = -\dfrac{b}{2a}$ vào hàm số.
- Trục đối xứng là đường thẳng $x = -\dfrac{b}{2a}$.
- Nếu $a \gt 0$: bề lõm quay lên, đỉnh là điểm thấp nhất. Nếu $a \lt 0$: bề lõm quay xuống, đỉnh là điểm cao nhất.
- Giao với trục tung tại $(0; c)$; giao với trục hoành tại các nghiệm (nếu có) của $ax^2 + bx + c = 0$.
3. Chiều biến thiên
| Dấu của $a$ | Nghịch biến trên | Đồng biến trên | Giá trị đặc biệt |
|---|---|---|---|
| $a \gt 0$ | $\left(-\infty; -\dfrac{b}{2a}\right)$ | $\left(-\dfrac{b}{2a}; +\infty\right)$ | Giá trị nhỏ nhất $-\dfrac{\Delta}{4a}$ |
| $a \lt 0$ | $\left(-\dfrac{b}{2a}; +\infty\right)$ | $\left(-\infty; -\dfrac{b}{2a}\right)$ | Giá trị lớn nhất $-\dfrac{\Delta}{4a}$ |
Các bước vẽ parabol
- Xác định toạ độ đỉnh và vẽ trục đối xứng.
- Tìm giao điểm với hai trục toạ độ.
- Lấy thêm vài điểm đối xứng nhau qua trục đối xứng.
- Nối các điểm thành đường cong trơn, chú ý hướng bề lõm theo dấu của $a$.
4. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Lập bảng biến thiên của hàm số $y = 2x^2 - 8x + 5$.
Lời giải. Ta có $a = 2 \gt 0$, $-\dfrac{b}{2a} = \dfrac{8}{4} = 2$ và $y(2) = 8 - 16 + 5 = -3$. Đỉnh $I(2; -3)$.
Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 2)$, đồng biến trên $(2; +\infty)$ và đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-3$ tại $x = 2$.
Ví dụ 2. Tìm $a, b$ để parabol $y = ax^2 + bx + 2$ đi qua $A(1; 5)$ và có trục đối xứng $x = -1$.
Lời giải. Parabol đi qua $A$ nên $a + b + 2 = 5$, tức $a + b = 3$. Trục đối xứng $x = -1$ nên $-\dfrac{b}{2a} = -1 \Rightarrow b = 2a$. Thay vào: $3a = 3 \Rightarrow a = 1,\ b = 2$.
Vậy $y = x^2 + 2x + 2$. Kiểm tra: $1 + 2 + 2 = 5$ đúng.
Ví dụ 3 (thực tế). Một quả bóng được ném lên, độ cao (mét) sau $t$ giây là $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$. Tìm độ cao lớn nhất của quả bóng.
Lời giải. Vì $a = -5 \lt 0$ nên $h$ đạt giá trị lớn nhất tại $t = -\dfrac{20}{2\cdot(-5)} = 2$ (giây). Khi đó $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$ (m).
5. Sai lầm thường gặp
- Viết hoành độ đỉnh là $\dfrac{b}{2a}$ (thiếu dấu trừ).
- Kết luận hàm số luôn có giá trị nhỏ nhất mà không xét dấu của $a$.
- Nhầm "đồng biến trên $(2; +\infty)$" thành "đồng biến khi $y \gt 0$".
- Vẽ parabol nhọn ở đỉnh như chữ V – đồ thị phải là đường cong trơn.
6. Tự kiểm tra
- Tìm toạ độ đỉnh của parabol $y = -x^2 + 4x - 1$. (Đáp số: $I(2; 3)$.)
- Hàm số $y = 3x^2 - 6x + 1$ nghịch biến trên khoảng nào? (Đáp số: $(-\infty; 1)$.)
- Parabol $y = x^2 - 2x - 3$ cắt trục hoành tại những điểm nào? (Đáp số: $(-1; 0)$ và $(3; 0)$.)