Cấp số cộng và cấp số nhân – Công thức, ví dụ giải chi tiết (Toán 11)

1. Cấp số cộng

Dãy số $(u_n)$ là cấp số cộng nếu kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi $d$, gọi là công sai: $u_{n+1} = u_n + d$.

Công thức cấp số cộng

Số hạng tổng quát: $u_n = u_1 + (n-1)d$.
Ba số hạng liên tiếp: $u_k = \dfrac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2}$ với $k \ge 2$.
Tổng $n$ số hạng đầu: $S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2} = \dfrac{n\left[2u_1 + (n-1)d\right]}{2}$.

2. Cấp số nhân

Dãy số $(u_n)$ là cấp số nhân nếu kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi $q$, gọi là công bội: $u_{n+1} = u_n \cdot q$.

Công thức cấp số nhân

Số hạng tổng quát: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.
Ba số hạng liên tiếp: $u_k^2 = u_{k-1} \cdot u_{k+1}$ với $k \ge 2$.
Tổng $n$ số hạng đầu ($q \ne 1$): $S_n = \dfrac{u_1\left(1 - q^n\right)}{1 - q}$. Nếu $q = 1$ thì $S_n = n u_1$.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Cấp số cộng $(u_n)$ có $u_2 = 5$ và $u_6 = 17$. Tìm $u_1$, $d$ và $S_{10}$.

Lời giải. Ta có $u_6 - u_2 = 4d = 12 \Rightarrow d = 3$, suy ra $u_1 = u_2 - d = 2$.

$S_{10} = \dfrac{10\left(2\cdot 2 + 9 \cdot 3\right)}{2} = 5 \cdot 31 = 155$.

Ví dụ 2. Cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 2$ và $u_4 = 54$. Tìm công bội và tổng 5 số hạng đầu.

Lời giải. $u_4 = u_1 q^3 \Rightarrow q^3 = 27 \Rightarrow q = 3$.

$S_5 = \dfrac{2\left(1 - 3^5\right)}{1 - 3} = \dfrac{2 \cdot (-242)}{-2} = 242$. Kiểm tra: $2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242$.

Ví dụ 3 (lãi kép). Bạn An gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm, tiền lãi mỗi năm được nhập vào gốc. Hỏi sau 3 năm số tiền trong tài khoản là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm của triệu đồng)?

Lời giải. Số tiền sau mỗi năm lập thành cấp số nhân với công bội $q = 1{,}06$. Sau 3 năm: $100 \cdot 1{,}06^3 = 119{,}1016 \approx 119{,}10$ (triệu đồng).

4. Sai lầm thường gặp

Viết $u_n = u_1 + nd$ hoặc $u_n = u_1 q^n$ (sai số mũ, đúng phải là $n - 1$).
Dùng công thức $S_n$ của cấp số nhân khi $q = 1$ (mẫu bằng 0).
Từ $q^2 = 9$ chỉ lấy $q = 3$, bỏ sót $q = -3$ khi đề không cho các số hạng dương.
Nhầm "số hạng thứ $n$" với "tổng $n$ số hạng đầu".

5. Tự kiểm tra

Tìm số dương $x$ để $2,\ x,\ 18$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. (Đáp số: $x = 6$.)
Cấp số cộng có $u_1 = -4$, $d = 5$. Tính $u_{12}$. (Đáp số: $51$.)
Tính tổng $1 + 2 + 4 + \dots + 512$. (Đáp số: $1023$.)