Số nguyên tố, ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất – Toán 6

1. Số nguyên tố và hợp số

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn $1$, chỉ có đúng hai ước là $1$ và chính nó. Hợp số là số tự nhiên lớn hơn $1$ có nhiều hơn hai ước.

• Số $0$ và số $1$ không là số nguyên tố, cũng không là hợp số.
• Số $2$ là số nguyên tố chẵn duy nhất.
• Các số nguyên tố nhỏ hơn $30$: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$.

Muốn biết một số $n$ có phải số nguyên tố hay không, ta thử chia $n$ cho các số nguyên tố $2, 3, 5, 7, \ldots$ (chỉ cần thử đến khi bình phương số chia vượt quá $n$). Ví dụ: $91 = 7 \cdot 13$ nên $91$ là hợp số, dù nhìn qua dễ tưởng là số nguyên tố.

2. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Phân tích một số tự nhiên lớn hơn $1$ ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng tích các thừa số nguyên tố. Cách làm thường dùng là chia lần lượt cho các số nguyên tố từ nhỏ đến lớn (“chia theo cột dọc”).

Ví dụ: $180 = 2 \cdot 90 = 2 \cdot 2 \cdot 45 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 15 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$. Viết gọn: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$.

3. Quy tắc tìm ƯCLN và BCNN

Ví dụ 1. Tìm ƯCLN và BCNN của $180$ và $168$.

Lời giải. $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$; $168 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$.
Thừa số chung: $2$ và $3$, nên $\text{ƯCLN}(180, 168) = 2^2 \cdot 3 = 12$.
Thừa số chung và riêng: $2, 3, 5, 7$, nên $\text{BCNN}(180, 168) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520$.
Kiểm tra: $12 \cdot 2520 = 30240 = 180 \cdot 168$.

4. Bài toán thực tế

Ví dụ 2 (dùng ƯCLN). Cô giáo có $54$ quyển vở và $72$ chiếc bút bi, muốn chia đều vào các phần thưởng sao cho mỗi phần có số vở như nhau, số bút như nhau. Có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phần thưởng?

Lời giải. Số phần thưởng là ước chung của $54$ và $72$, nhiều nhất nên là ƯCLN. $54 = 2 \cdot 3^3$, $72 = 2^3 \cdot 3^2$ nên $\text{ƯCLN}(54, 72) = 2 \cdot 3^2 = 18$. Chia được nhiều nhất $18$ phần, mỗi phần có $3$ quyển vở và $4$ chiếc bút.

Ví dụ 3 (dùng BCNN). Số học sinh của một trường khi xếp hàng $8$, hàng $10$ hay hàng $12$ đều vừa đủ. Biết số học sinh trong khoảng từ $200$ đến $300$. Tìm số học sinh.

Lời giải. Số học sinh là bội chung của $8, 10, 12$. Ta có $8 = 2^3$, $10 = 2 \cdot 5$, $12 = 2^2 \cdot 3$ nên $\text{BCNN}(8, 10, 12) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120$. Các bội chung là $0, 120, 240, 360, \ldots$ Trong khoảng $200$ đến $300$ chỉ có $240$. Vậy trường có $240$ học sinh.

Ví dụ 4 (rút gọn phân số). Rút gọn $\frac{84}{126}$ về phân số tối giản. Vì $\text{ƯCLN}(84, 126) = 42$ nên $\frac{84}{126} = \frac{84 : 42}{126 : 42} = \frac{2}{3}$.

5. Lưu ý – sai lầm thường gặp

• Cho rằng $1$ là số nguyên tố – sai, vì $1$ chỉ có một ước.
• Khi tìm ƯCLN lại lấy số mũ lớn nhất, hoặc khi tìm BCNN lại quên các thừa số riêng.
• Phân tích chưa xong đã dừng, ví dụ viết $120 = 2^3 \cdot 15$ (vì $15$ chưa phải số nguyên tố).
• Hai số nguyên tố cùng nhau có ƯCLN bằng $1$ và BCNN bằng tích của chúng, ví dụ $\text{BCNN}(8, 9) = 72$.
• Bài toán hỏi “nhiều nhất”, “lớn nhất” để chia đều thường dùng ƯCLN; bài toán “ít nhất”, “cùng lặp lại” thường dùng BCNN.

6. Tự kiểm tra

1. Tìm ƯCLN và BCNN của $90$ và $126$. (Đáp số: $18$ và $630$.)
2. Tìm $\text{BCNN}(9, 15)$. (Đáp số: $45$.)
3. Số $119$ là số nguyên tố hay hợp số? (Hợp số, vì $119 = 7 \cdot 17$.)