Tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau và đại lượng tỉ lệ – Toán 7

1. Tỉ lệ thức

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (với $b, d \ne 0$), còn viết là $a : b = c : d$. Các số $a, d$ gọi là ngoại tỉ, các số $b, c$ gọi là trung tỉ.

Tính chất cơ bản

Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì $a \cdot d = b \cdot c$ (tích ngoại tỉ bằng tích trung tỉ).

Ngược lại, nếu $ad = bc$ với $a, b, c, d \ne 0$ thì ta lập được bốn tỉ lệ thức: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$; $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$; $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$; $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$.

Ví dụ 1. Tìm $x$ biết $\frac{x}{4} = \frac{15}{6}$.

Lời giải. Từ tính chất tỉ lệ thức: $6x = 4 \cdot 15 = 60$, suy ra $x = 10$.

2. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d}$ (các mẫu khác $0$).

Mở rộng: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a + c + e}{b + d + f}$.

Ví dụ 2. Tìm $x, y$ biết $\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$ và $x + y = 32$.

Lời giải. $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{x + y}{3 + 5} = \frac{32}{8} = 4$. Suy ra $x = 3 \cdot 4 = 12$ và $y = 5 \cdot 4 = 20$.

Ví dụ 3. Ba lớp trồng được tổng cộng $96$ cây, số cây của mỗi lớp tỉ lệ với $3; 4; 5$. Tính số cây mỗi lớp.

Lời giải. Gọi số cây là $a, b, c$. Ta có $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} = \frac{a + b + c}{12} = \frac{96}{12} = 8$. Vậy $a = 24$, $b = 32$, $c = 40$ (cây).

3. Đại lượng tỉ lệ thuận

Nếu $y = kx$ ($k$ là hằng số khác $0$) thì $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $k$; khi đó $x$ tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số $\frac{1}{k}$.

Tỉ lệ thuận: $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = \ldots = k$ và $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$.

Ví dụ 4. Mua $5$ m vải hết $300\,000$ đồng. Hỏi mua $8$ m vải cùng loại hết bao nhiêu tiền?

Lời giải. Số tiền tỉ lệ thuận với số mét vải. Giá $1$ m là $300\,000 : 5 = 60\,000$ đồng, nên $8$ m hết $8 \cdot 60\,000 = 480\,000$ đồng.

4. Đại lượng tỉ lệ nghịch

Nếu $y = \frac{a}{x}$ hay $xy = a$ ($a$ là hằng số khác $0$) thì $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$.

Tỉ lệ nghịch: $x_1 y_1 = x_2 y_2 = \ldots = a$ và $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_2}{y_1}$.

Ví dụ 5. $12$ người làm xong một công việc trong $15$ ngày. Nếu có $20$ người (năng suất như nhau) thì làm xong trong bao nhiêu ngày?

Lời giải. Số người và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch: $12 \cdot 15 = 20 \cdot x$, suy ra $x = 180 : 20 = 9$ (ngày).

5. Lưu ý – sai lầm thường gặp

Nhầm loại tỉ lệ: hãy tự hỏi “đại lượng này tăng thì đại lượng kia tăng hay giảm?”. Tăng – tăng theo cùng tỉ số là tỉ lệ thuận; tăng – giảm sao cho tích không đổi là tỉ lệ nghịch.
Không phải cứ “cùng tăng” là tỉ lệ thuận: tuổi và chiều cao của một người cùng tăng nhưng không tỉ lệ thuận.
Khi dùng dãy tỉ số bằng nhau với hiệu, chú ý dấu: $\frac{a}{2} = \frac{b}{7}$, $b - a = 20$ thì $\frac{b - a}{7 - 2} = 4$.

6. Tự kiểm tra

Tìm $a, b$ biết $\frac{a}{2} = \frac{b}{7}$ và $b - a = 20$. (Đáp số: $a = 8$, $b = 28$.)
Biết $y$ tỉ lệ thuận với $x$ và khi $x = 3$ thì $y = 12$. Tính $y$ khi $x = 5$. (Đáp số: $y = 20$.)
Một xe đi quãng đường AB với tốc độ $40$ km/h hết $3$ giờ. Nếu đi với tốc độ $60$ km/h thì hết bao lâu? (Đáp số: $2$ giờ.)