Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ – Toán 8

1. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

Hằng đẳng thức là đẳng thức đúng với mọi giá trị của biến. Với $A, B$ là các biểu thức tùy ý, ta có:

Tên gọi	Công thức
Bình phương của một tổng	$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
Bình phương của một hiệu	$(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$
Hiệu hai bình phương	$A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$
Lập phương của một tổng	$(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$
Lập phương của một hiệu	$(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$
Tổng hai lập phương	$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$
Hiệu hai lập phương	$A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$

Biểu thức $A^2 - AB + B^2$ và $A^2 + AB + B^2$ được gọi là bình phương thiếu của hiệu và của tổng.

2. Khai triển và rút gọn

Ví dụ 1. Khai triển $(x + 1)^3$ và $(3x - 2)^2$.

Lời giải. $(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$.
$(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$.

Ví dụ 2. Rút gọn $P = (x + 2)^2 - (x - 2)^2$.

Lời giải. Cách 1: $P = (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 4x + 4) = 8x$.
Cách 2 (dùng hiệu hai bình phương): $P = \big[(x + 2) - (x - 2)\big]\big[(x + 2) + (x - 2)\big] = 4 \cdot 2x = 8x$.

3. Tính nhanh

Ví dụ 3. $101^2 = (100 + 1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$.
$49 \cdot 51 = (50 - 1)(50 + 1) = 2500 - 1 = 2499$.
$999^2 = (1000 - 1)^2 = 1000000 - 2000 + 1 = 998001$.

4. Phân tích đa thức thành nhân tử

Đọc hằng đẳng thức theo chiều từ phải sang trái ta được cách phân tích thành nhân tử.

Ví dụ 4. $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$; $\;4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3)$; $\;8x^3 - 1 = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$.

Ví dụ 5. Phân tích $x^3 - 4x$ thành nhân tử: $x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$ (đặt nhân tử chung trước, sau đó dùng hằng đẳng thức).

5. Tìm giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của $Q = x^2 + 4x + 7$.

Lời giải. $Q = (x^2 + 4x + 4) + 3 = (x + 2)^2 + 3$. Vì $(x + 2)^2 \ge 0$ với mọi $x$ nên $Q \ge 3$. Dấu “=” xảy ra khi $x = -2$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $Q$ là $3$, đạt được khi $x = -2$.

6. Lưu ý – sai lầm thường gặp

Viết $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ – sai, thiếu hạng tử $2ab$.
Quên bình phương hệ số: $(3x)^2 = 9x^2$ chứ không phải $3x^2$.
Nhầm dấu ở lập phương của một hiệu: các dấu xen kẽ $+, -, +, -$.
Nhầm $A^3 + B^3$ với $(A + B)^3$; nhầm “bình phương thiếu” với bình phương đủ.
Khi trừ một bình phương, nhớ đặt trong ngoặc rồi mới đổi dấu.

7. Tự kiểm tra

Phân tích $x^3 + 27$ thành nhân tử. (Đáp số: $(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$.)
Tính nhanh $102 \cdot 98$. (Đáp số: $9996$.)
Rút gọn $(2x + 1)^2 - 4x(x + 1)$. (Đáp số: $1$.)