Đề cương ôn thi vào lớp 10 môn Toán – phần Đại số

A. Các chủ đề cần ôn

Chủ đề	Kiến thức, kĩ năng cần nắm
1. Căn bậc hai, căn bậc ba	Điều kiện xác định; hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = \|A\|$; đưa thừa số ra ngoài/vào trong dấu căn; trục căn thức ở mẫu; rút gọn biểu thức chứa căn và bài toán phụ.
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn	Giải bằng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số; giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
3. Bất phương trình bậc nhất một ẩn	Tính chất của bất đẳng thức; giải bất phương trình $ax + b \gt 0$ (đổi chiều khi nhân/chia số âm).
4. Hàm số $y = ax^2$ $(a \ne 0)$	Tính giá trị, vẽ đồ thị (parabol); tìm giao điểm của parabol và đường thẳng.
5. Phương trình bậc hai, hệ thức Vi-ét	Công thức nghiệm; nhẩm nghiệm; tìm điều kiện của tham số; tính biểu thức đối xứng của hai nghiệm.
6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình	Bài toán chuyển động, năng suất, hình học, phần trăm.

Công thức cần thuộc

$\sqrt{AB} = \sqrt{A}\cdot\sqrt{B}$ ($A, B \ge 0$); $\;\dfrac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b}$ ($a, b \ge 0$, $a \ne b$).
$\Delta = b^2 - 4ac$; $\;x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$, $\;x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$; $\;x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.
Hoành độ giao điểm của $y = ax^2$ và $y = mx + n$ là nghiệm của $ax^2 - mx - n = 0$.

B. Bài tập mẫu có lời giải

Bài 1. Cho $P = \left(\dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1}\right) \cdot \dfrac{x - 1}{2}$ với $x \ge 0$, $x \ne 1$. Rút gọn $P$ và tìm $x$ để $P = 3$.

Lời giải. $\dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} = \dfrac{(\sqrt{x} + 1) + (\sqrt{x} - 1)}{x - 1} = \dfrac{2\sqrt{x}}{x - 1}$. Do đó $P = \dfrac{2\sqrt{x}}{x - 1} \cdot \dfrac{x - 1}{2} = \sqrt{x}$.
$P = 3 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 3 \Leftrightarrow x = 9$ (thỏa mãn điều kiện).

Bài 2. Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}$.

Lời giải. Cộng vế theo vế: $3x = 9$, nên $x = 3$. Thay vào phương trình thứ hai: $y = x - 2 = 1$. Hệ có nghiệm duy nhất $(x; y) = (3; 1)$.

Bài 3. Giải bất phương trình $3x - 5 \ge x + 3$.

Lời giải. $3x - x \ge 3 + 5 \Leftrightarrow 2x \ge 8 \Leftrightarrow x \ge 4$.

Bài 4. Tìm tọa độ giao điểm của parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $(d): y = x + 2$.

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2 = x + 2 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 = 0$. Vì $a - b + c = 1 + 1 - 2 = 0$ nên $x_1 = -1$, $x_2 = 2$. Suy ra $y_1 = 1$, $y_2 = 4$. Hai giao điểm là $(-1; 1)$ và $(2; 4)$.

Bài 5. Cho phương trình $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ ($m$ là tham số). Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt và tìm $m$ để $x_1^2 + x_2^2 = 10$.

Lời giải. $\Delta' = m^2 - (m^2 - 1) = 1 \gt 0$ với mọi $m$, nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Theo Vi-ét: $x_1 + x_2 = 2m$, $x_1x_2 = m^2 - 1$.
$x_1^2 + x_2^2 = 4m^2 - 2(m^2 - 1) = 2m^2 + 2$. Từ $2m^2 + 2 = 10$ suy ra $m^2 = 4$, tức $m = 2$ hoặc $m = -2$.

Bài 6. Quãng đường AB dài $120$ km. Một ô tô đi từ A đến B rồi quay về A, tốc độ lúc về lớn hơn lúc đi $10$ km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi $1$ giờ. Tính tốc độ lúc đi.

Lời giải. Gọi tốc độ lúc đi là $x$ (km/h, $x \gt 0$). Ta có phương trình $\dfrac{120}{x} - \dfrac{120}{x + 10} = 1$, biến đổi thành $120(x + 10) - 120x = x(x + 10)$, hay $x^2 + 10x - 1200 = 0$.
$\Delta' = 25 + 1200 = 1225$, $\sqrt{\Delta'} = 35$; $x_1 = -5 + 35 = 30$ (nhận), $x_2 = -5 - 35 = -40$ (loại). Vậy tốc độ lúc đi là $30$ km/h (thử lại: đi hết $4$ giờ, về với $40$ km/h hết $3$ giờ).

C. Lời khuyên khi ôn tập

Luôn ghi điều kiện xác định trước khi rút gọn và đối chiếu điều kiện ở bước cuối.
Với bài có tham số, kiểm tra điều kiện có nghiệm ($\Delta \ge 0$) trước khi dùng Vi-ét.
Bài toán thực tế: đặt ẩn có đơn vị, điều kiện rõ ràng; kết luận trả lời đúng câu hỏi.
Mỗi tuần làm ít nhất một đề tổng hợp có bấm giờ để luyện phân bổ thời gian.