Tỉ số lượng giác và hệ thức lượng trong tam giác vuông – Toán 9

1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, xét góc nhọn $B$. Cạnh $AC$ là cạnh đối, cạnh $AB$ là cạnh kề của góc $B$, cạnh $BC$ là cạnh huyền.

$\sin B = \dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}} = \dfrac{AC}{BC}$; $\quad \cos B = \dfrac{\text{kề}}{\text{huyền}} = \dfrac{AB}{BC}$;

$\tan B = \dfrac{\text{đối}}{\text{kề}} = \dfrac{AC}{AB}$; $\quad \cot B = \dfrac{\text{kề}}{\text{đối}} = \dfrac{AB}{AC}$.

Với góc nhọn $\alpha$: $0 \lt \sin\alpha \lt 1$, $0 \lt \cos\alpha \lt 1$, $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$, $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Hai góc phụ nhau: $\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$, $\tan\alpha = \cot(90^\circ - \alpha)$.

Bảng giá trị của các góc đặc biệt

Góc	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\tan$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$
$\cot$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ví dụ 1. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3$ cm, $AC = 4$ cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc $B$.

Lời giải. Theo định lí Pythagore: $BC = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ (cm). Do đó $\sin B = \frac{4}{5} = 0{,}8$; $\cos B = \frac{3}{5} = 0{,}6$; $\tan B = \frac{4}{3}$; $\cot B = \frac{3}{4}$.

2. Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (cạnh huyền $a = BC$, các cạnh góc vuông $b = AC$, $c = AB$):

$b = a \sin B = a \cos C$; $\quad c = a \sin C = a \cos B$;

$b = c \tan B = c \cot C$; $\quad c = b \tan C = b \cot B$.

Nói gọn: cạnh góc vuông = cạnh huyền $\times$ sin góc đối = cạnh huyền $\times$ cos góc kề; cạnh góc vuông = cạnh góc vuông kia $\times$ tan góc đối.

Ví dụ 2 (giải tam giác vuông). Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = 12$ cm, $\widehat{B} = 60^\circ$. Tính $\widehat{C}$, $AB$, $AC$.

Lời giải. $\widehat{C} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
$AB = BC \cos B = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ (cm).
$AC = BC \sin B = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39$ (cm).

3. Ứng dụng thực tế

Ví dụ 3. Một chiếc thang dài $5$ m dựa vào tường, tạo với mặt đất một góc $65^\circ$. Hỏi đầu thang chạm tường ở độ cao bao nhiêu và chân thang cách tường bao xa?

Lời giải. Độ cao: $h = 5 \sin 65^\circ \approx 4{,}53$ (m). Khoảng cách từ chân thang đến tường: $d = 5 \cos 65^\circ \approx 2{,}11$ (m).

Ví dụ 4. Bóng của một cái cây trên mặt đất dài $12$ m, tia nắng tạo với mặt đất góc $35^\circ$. Chiều cao của cây là $h = 12 \tan 35^\circ \approx 8{,}40$ (m).

4. Mở rộng: hệ thức về cạnh và đường cao

Nếu $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì $AH^2 = HB \cdot HC$, $AB^2 = BH \cdot BC$, $AC^2 = CH \cdot BC$ và $AB \cdot AC = BC \cdot AH$. Các hệ thức này chứng minh được bằng tam giác đồng dạng, thường dùng để tính nhanh độ dài.

5. Lưu ý – sai lầm thường gặp

Nhầm cạnh đối và cạnh kề: cạnh đối là cạnh không nằm trên góc đang xét.
Máy tính cầm tay phải để ở chế độ đơn vị độ (D hoặc Deg) khi tính $\sin 65^\circ$.
Nhớ rằng $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$ của góc nhọn luôn nhỏ hơn $1$; nếu tính ra lớn hơn $1$ là đã chia nhầm.
Làm tròn ở bước cuối cùng, không làm tròn ở các bước trung gian.

6. Tự kiểm tra

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB = 5$ cm, $\widehat{C} = 30^\circ$. Tính $BC$ và $AC$. (Đáp số: $BC = 10$ cm, $AC = 5\sqrt{3}$ cm.)
Không dùng máy tính, so sánh $\sin 40^\circ$ và $\cos 50^\circ$. (Bằng nhau vì $40^\circ + 50^\circ = 90^\circ$.)