Phương trình bậc hai một ẩn, công thức nghiệm và hệ thức Vi-ét – Toán 9

1. Phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng $ax^2 + bx + c = 0$, trong đó $x$ là ẩn, $a, b, c$ là các số cho trước và $a \ne 0$.

2. Công thức nghiệm

Biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac$.

$\Delta \gt 0$: phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$, $x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$.
$\Delta = 0$: phương trình có nghiệm kép $x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2a}$.
$\Delta \lt 0$: phương trình vô nghiệm.

Công thức nghiệm thu gọn (khi $b = 2b'$): $\Delta' = b'^2 - ac$; nếu $\Delta' \gt 0$ thì $x_{1,2} = \dfrac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a}$; nếu $\Delta' = 0$ thì nghiệm kép $x = -\dfrac{b'}{a}$; nếu $\Delta' \lt 0$ thì vô nghiệm.

Ví dụ 1. Giải phương trình $2x^2 - 7x + 3 = 0$.

Lời giải. $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$; $\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 \gt 0$, $\sqrt{\Delta} = 5$.
$x_1 = \dfrac{7 + 5}{4} = 3$; $x_2 = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{1}{2}$.

Ví dụ 2. Giải phương trình $x^2 - 8x + 12 = 0$.

Lời giải. $b' = -4$; $\Delta' = 16 - 12 = 4 \gt 0$, $\sqrt{\Delta'} = 2$. Vậy $x_1 = 4 + 2 = 6$, $x_2 = 4 - 2 = 2$.

Ví dụ 3. Phương trình $x^2 - 6x + 9 = 0$ có $\Delta' = 9 - 9 = 0$ nên có nghiệm kép $x_1 = x_2 = 3$. Phương trình $3x^2 + 2x + 5 = 0$ có $\Delta' = 1 - 15 = -14 \lt 0$ nên vô nghiệm.

3. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Nếu $x_1, x_2$ là hai nghiệm của $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$) thì

$$S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad P = x_1 x_2 = \frac{c}{a}.$$

Nhẩm nghiệm: nếu $a + b + c = 0$ thì $x_1 = 1$, $x_2 = \dfrac{c}{a}$; nếu $a - b + c = 0$ thì $x_1 = -1$, $x_2 = -\dfrac{c}{a}$.

Tìm hai số biết tổng $S$ và tích $P$: hai số đó là nghiệm của $X^2 - SX + P = 0$ (điều kiện $S^2 - 4P \ge 0$).

Ví dụ 4. Phương trình $5x^2 - 3x - 2 = 0$ có $a + b + c = 5 - 3 - 2 = 0$ nên $x_1 = 1$, $x_2 = -\dfrac{2}{5}$.

Ví dụ 5. Cho phương trình $x^2 - 5x + 3 = 0$. Không giải phương trình, tính $x_1^2 + x_2^2$ và $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$.

Lời giải. $\Delta = 25 - 12 = 13 \gt 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo Vi-ét: $S = 5$, $P = 3$.
$x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P = 25 - 6 = 19$; $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{S}{P} = \dfrac{5}{3}$.

Ví dụ 6. Tìm hai số có tổng bằng $7$ và tích bằng $12$. Hai số là nghiệm của $X^2 - 7X + 12 = 0$; $\Delta = 49 - 48 = 1$, nên $X_1 = 4$, $X_2 = 3$. Hai số cần tìm là $3$ và $4$.

Nhận xét: nếu $a$ và $c$ trái dấu ($ac \lt 0$) thì $\Delta = b^2 - 4ac \gt 0$, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

4. Lưu ý – sai lầm thường gặp

Quên điều kiện $a \ne 0$ khi phương trình chứa tham số ở hệ số $a$.
Sai dấu khi thay $b$ âm: $b = -7$ thì $-b = 7$ và $b^2 = 49$.
Dùng hệ thức Vi-ét khi chưa kiểm tra phương trình có nghiệm ($\Delta \ge 0$).
Nhớ nhầm $x_1 + x_2 = \dfrac{b}{a}$ (thiếu dấu trừ).
Với công thức thu gọn, mẫu số là $a$ chứ không phải $2a$.

5. Tự kiểm tra

Giải $3x^2 - 5x - 2 = 0$. (Đáp số: $x_1 = 2$, $x_2 = -\dfrac{1}{3}$.)
Nhẩm nghiệm $2x^2 + 3x + 1 = 0$. (Vì $a - b + c = 0$ nên $x_1 = -1$, $x_2 = -\dfrac{1}{2}$.)
Cho $x^2 - 6x + 4 = 0$. Tính $x_1^2 + x_2^2$. (Đáp số: $28$.)