Cực trị và đường tiệm cận của đồ thị hàm số – Lý thuyết và ví dụ (Toán 12)

Quy tắc 1 (dùng bảng biến thiên): tìm tập xác định, tính $f'(x)$, tìm các điểm $f'(x) = 0$ hoặc $f'$ không xác định, lập bảng xét dấu. Nếu $f'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại; đổi từ $-$ sang $+$ thì là điểm cực tiểu.

Quy tắc 2 (dùng đạo hàm cấp hai): nếu $f'(x_0) = 0$ và $f''(x_0) \lt 0$ thì $x_0$ là điểm cực đại; nếu $f'(x_0) = 0$ và $f''(x_0) \gt 0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu.

Lời giải. $y' = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3)$; $y' = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$.

$y' \gt 0$ trên $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$, $y' \lt 0$ trên $(-1; 3)$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = -1$ với $y_{\text{CĐ}} = -1 - 3 + 9 + 1 = 6$; đạt cực tiểu tại $x = 3$ với $y_{\text{CT}} = 27 - 27 - 27 + 1 = -26$.

• Tiệm cận ngang $y = y_0$ nếu $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0$ hoặc $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0$.
• Tiệm cận đứng $x = x_0$ nếu ít nhất một trong các giới hạn $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x)$, $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ bằng $+\infty$ hoặc $-\infty$.
• Tiệm cận xiên $y = ax + b$ $(a \ne 0)$ nếu $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}[f(x) - (ax + b)] = 0$ hoặc $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}[f(x) - (ax + b)] = 0$.

Với $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ ($c \ne 0$, $ad - bc \ne 0$): tiệm cận đứng $x = -\dfrac{d}{c}$, tiệm cận ngang $y = \dfrac{a}{c}$.

Lời giải. $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} y = 3$ nên $y = 3$ là tiệm cận ngang. $\displaystyle\lim_{x \to (-1)^+} y = -\infty$ nên $x = -1$ là tiệm cận đứng.

Lời giải. Chia đa thức: $x^2 + x + 1 = (x - 1)(x + 2) + 3$, nên $y = x + 2 + \dfrac{3}{x - 1}$. Vì $\dfrac{3}{x - 1} \to 0$ khi $x \to \pm\infty$, đường thẳng $y = x + 2$ là tiệm cận xiên. Ngoài ra $x = 1$ là tiệm cận đứng.