Nguyên hàm và tích phân cơ bản – Bảng công thức, ví dụ (Toán 12)

1. Nguyên hàm

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $K$. Hàm số $F(x)$ được gọi là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in K$. Khi đó mọi nguyên hàm của $f$ có dạng $F(x) + C$ và ta viết $\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + C$.

Bảng nguyên hàm cơ bản

$\displaystyle\int x^{\alpha}\,dx = \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$ $(\alpha \ne -1)$; $\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$.
$\displaystyle\int e^x\,dx = e^x + C$; $\displaystyle\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$ $(0 \lt a \ne 1)$.
$\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C$; $\displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x + C$.
$\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C$; $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\cot x + C$.

Tính chất: $\displaystyle\int k f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$ $(k \ne 0)$ và $\displaystyle\int [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$.

2. Tích phân

Công thức Newton – Leibniz: nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ trên $[a; b]$ thì $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Tính chất: $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$; $\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$; $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x)$, $y = g(x)$, $x = a$, $x = b$: $S = \displaystyle\int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tìm $\displaystyle\int (4x^3 - 2x + 3)\,dx$.

Lời giải. $\displaystyle\int (4x^3 - 2x + 3)\,dx = x^4 - x^2 + 3x + C$. Kiểm tra lại bằng cách đạo hàm: $(x^4 - x^2 + 3x)' = 4x^3 - 2x + 3$.

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x) = 3x^2 + 1$ thoả mãn $F(1) = 4$.

Lời giải. $F(x) = x^3 + x + C$. Từ $F(1) = 1 + 1 + C = 4$ suy ra $C = 2$. Vậy $F(x) = x^3 + x + 2$.

Ví dụ 3. Tính $I = \displaystyle\int_1^2 (3x^2 - 2x)\,dx$ và $J = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx$.

Lời giải. $I = \left[x^3 - x^2\right]_1^2 = (8 - 4) - (1 - 1) = 4$.

$J = \left[\sin x\right]_0^{\pi/2} = 1 - 0 = 1$.

Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x^2 - 1$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$.

Lời giải. Trên $[0; 1]$ ta có $x^2 - 1 \le 0$, trên $[1; 2]$ thì $x^2 - 1 \ge 0$. Do đó

$S = \displaystyle\int_0^1 (1 - x^2)\,dx + \int_1^2 (x^2 - 1)\,dx = \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3} = 2$.

Nếu bỏ dấu giá trị tuyệt đối và tính thẳng $\displaystyle\int_0^2 (x^2 - 1)\,dx = \dfrac{2}{3}$ thì sẽ ra kết quả sai.

4. Sai lầm thường gặp

Quên hằng số $C$ khi tìm họ nguyên hàm.
Nhầm $\displaystyle\int \sin x\,dx = \cos x + C$ (đúng là $-\cos x + C$).
Viết $\displaystyle\int e^{2x}\,dx = e^{2x} + C$; đúng là $\dfrac{1}{2}e^{2x} + C$.
Tính diện tích mà không xét dấu của $f(x) - g(x)$ trên từng đoạn.

5. Tự kiểm tra

Tìm $\displaystyle\int \left(2\cos x + \dfrac{1}{x}\right)dx$ trên $(0; +\infty)$. (Đáp số: $2\sin x + \ln x + C$.)
Tính $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx$. (Đáp số: $e - 1$.)
Biết $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx = 6$. Tính $\displaystyle\int_0^3 [2f(x) + 1]\,dx$. (Đáp số: $15$.)