Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số toán lớp 12

1. Kiến thức cần nhớ

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$. Số $M$ là giá trị lớn nhất của $f$ trên $D$, kí hiệu $M = \max\limits_{D} f(x)$, nếu $f(x) \le M$ với mọi $x \in D$ và tồn tại $x_0 \in D$ để $f(x_0) = M$. Tương tự, $m = \min\limits_{D} f(x)$ nếu $f(x) \ge m$ với mọi $x \in D$ và tồn tại $x_0 \in D$ để $f(x_0) = m$.

Điều kiện “tồn tại $x_0$” rất quan trọng: chẳng hạn $f(x) = \dfrac{1}{x}$ trên $(0; +\infty)$ luôn dương nhưng không có giá trị nhỏ nhất, vì không có $x$ nào làm $f(x) = 0$.

a) Quy tắc tìm GTLN, GTNN trên một đoạn $[a; b]$

Hàm số liên tục trên một đoạn luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Cách tìm:

Tìm các điểm $x_1, x_2, \dots$ thuộc khoảng $(a; b)$ mà tại đó $f'(x) = 0$ hoặc $f'(x)$ không xác định.
Tính $f(a)$, $f(b)$, $f(x_1)$, $f(x_2)$, …
Số lớn nhất trong các giá trị trên là $\max\limits_{[a;b]} f(x)$, số nhỏ nhất là $\min\limits_{[a;b]} f(x)$.

b) Trên một khoảng

Ta lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng đó rồi đọc kết quả. Nếu trên khoảng, hàm số chỉ có một cực trị là cực tiểu thì giá trị cực tiểu đó chính là giá trị nhỏ nhất (tương tự với cực đại và giá trị lớn nhất).

c) Bài toán tối ưu thực tế

Chọn ẩn $x$ (kèm điều kiện), biểu diễn đại lượng cần tối ưu thành hàm số $f(x)$, tìm GTLN hoặc GTNN của $f$ trên miền điều kiện, rồi trả lời theo ngữ cảnh (đơn vị, làm tròn hợp lí).

2. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Tìm GTLN, GTNN của $f(x) = x^3 - 3x + 2$ trên đoạn $[0; 2]$.

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$; chỉ $x = 1$ thuộc $(0; 2)$. Ta có $f(0) = 2$, $f(1) = 0$, $f(2) = 4$.

Vậy $\max\limits_{[0;2]} f(x) = f(2) = 4$, $\min\limits_{[0;2]} f(x) = f(1) = 0$.

Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x) = x + \dfrac{4}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$.

$f'(x) = 1 - \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2 - 4}{x^2}$; trên $(0; +\infty)$, $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$. $f'$ âm trên $(0; 2)$ và dương trên $(2; +\infty)$, nên $\min\limits_{(0;+\infty)} f(x) = f(2) = 4$. Hàm số không có giá trị lớn nhất vì $f(x) \to +\infty$ khi $x \to 0^+$.

Ví dụ 3 (thực tế). Từ một tấm bìa hình vuông cạnh 12 cm, người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau cạnh $x$ (cm) rồi gấp lại thành một chiếc hộp không nắp. Tìm $x$ để hộp có thể tích lớn nhất.

Điều kiện $0 \lt x \lt 6$. Đáy hộp là hình vuông cạnh $12 - 2x$, chiều cao $x$, nên $V(x) = x(12 - 2x)^2$.

$V'(x) = (12 - 2x)^2 - 4x(12 - 2x) = (12 - 2x)(12 - 6x)$. Trên $(0; 6)$, $V'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$; $V'$ đổi dấu từ dương sang âm tại $x = 2$.

Vậy thể tích lớn nhất là $V(2) = 2 \cdot 8^2 = 128\ \text{cm}^3$, đạt khi $x = 2$ cm.

Ví dụ 4. Tìm GTLN, GTNN của $f(x) = \sin x + \cos x$ trên đoạn $[0; \pi]$.

$f'(x) = \cos x - \sin x = 0 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4}$ (trên $(0; \pi)$). $f(0) = 1$, $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$, $f(\pi) = -1$. Vậy giá trị lớn nhất là $\sqrt{2}$, giá trị nhỏ nhất là $-1$.

3. Luyện tập

Tìm GTLN, GTNN của $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$ trên $[0; 2]$. Đáp số: lớn nhất $9$ (tại $x = 2$), nhỏ nhất $0$ (tại $x = 1$).
Tìm GTLN, GTNN của $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ trên $[2; 4]$. Đáp số: hàm nghịch biến, lớn nhất $f(2) = 5$, nhỏ nhất $f(4) = 3$.
Tìm GTLN của $f(x) = xe^{-x}$ trên $[0; 2]$. Đáp số: $f(1) = \dfrac{1}{e}$.
Trong các hình chữ nhật có chu vi 20 cm, hình nào có diện tích lớn nhất? Đáp số: hình vuông cạnh 5 cm, diện tích 25 cm².

Ghi nhớ

Trên đoạn: so sánh giá trị tại hai đầu mút và tại các điểm tới hạn nằm trong đoạn.
Loại bỏ các nghiệm của $f'(x) = 0$ không thuộc đoạn đang xét.
Trên khoảng: lập bảng biến thiên; có thể không tồn tại GTLN hoặc GTNN.
Bài toán thực tế: đặt ẩn, tìm điều kiện, lập hàm, khảo sát, trả lời đúng đơn vị.