Bài 6. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm
Cập nhật 17/10/2026 · 10 lượt xem
1. Kiến thức cần nhớ
Xét mẫu số liệu ghép nhóm gồm $k$ nhóm $[a_1; a_2), [a_2; a_3), \dots, [a_k; a_{k+1})$ với tần số tương ứng $n_1, n_2, \dots, n_k$; cỡ mẫu $n = n_1 + n_2 + \dots + n_k$. Giá trị đại diện của nhóm thứ $i$ là trung điểm $x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$.
a) Khoảng biến thiên
$R = a_{k+1} - a_1$ (đầu mút phải của nhóm cuối trừ đầu mút trái của nhóm đầu). $R$ dễ tính nhưng chịu ảnh hưởng mạnh của các giá trị ở hai đầu.
b) Khoảng tứ phân vị
$\Delta_Q = Q_3 - Q_1$. Tứ phân vị được tính bằng công thức nội suy: nếu nhóm $[u_m; u_{m+1})$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\dfrac{n}{4}$, thì
$Q_1 = u_m + \dfrac{\dfrac{n}{4} - C}{n_m} \cdot (u_{m+1} - u_m)$,
trong đó $C$ là tổng tần số các nhóm đứng trước nhóm đó, $n_m$ là tần số của nhóm đó. $Q_3$ tính tương tự với $\dfrac{3n}{4}$ thay cho $\dfrac{n}{4}$. Khoảng tứ phân vị đo độ phân tán của một nửa số liệu ở giữa, ít bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.
c) Phương sai và độ lệch chuẩn
Số trung bình $\overline{x} = \dfrac{n_1x_1 + n_2x_2 + \dots + n_kx_k}{n}$. Phương sai
$s^2 = \dfrac{1}{n}\left[n_1(x_1 - \overline{x})^2 + \dots + n_k(x_k - \overline{x})^2\right] = \dfrac{1}{n}\left(n_1x_1^2 + \dots + n_kx_k^2\right) - \overline{x}^2.$
Độ lệch chuẩn $s = \sqrt{s^2}$, có cùng đơn vị với số liệu. Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán (kém đồng đều) quanh số trung bình.
2. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ. Thời gian (phút) sử dụng mạng xã hội trong một ngày của 40 học sinh được cho trong bảng:
| Thời gian | $[0; 20)$ | $[20; 40)$ | $[40; 60)$ | $[60; 80)$ | $[80; 100)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | 5 | 9 | 12 | 10 | 4 |
Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn.
Khoảng biến thiên: $R = 100 - 0 = 100$ (phút).
Tứ phân vị: tần số tích luỹ lần lượt là 5; 14; 26; 36; 40. Với $\dfrac{n}{4} = 10$: nhóm $[20; 40)$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $\ge 10$, nên $Q_1 = 20 + \dfrac{10 - 5}{9} \cdot 20 = \dfrac{280}{9} \approx 31{,}11$.
Với $\dfrac{3n}{4} = 30$: nhóm $[60; 80)$, nên $Q_3 = 60 + \dfrac{30 - 26}{10} \cdot 20 = 68$. Vậy $\Delta_Q = 68 - \dfrac{280}{9} = \dfrac{332}{9} \approx 36{,}89$ (phút).
Phương sai: giá trị đại diện 10; 30; 50; 70; 90. $\overline{x} = \dfrac{5 \cdot 10 + 9 \cdot 30 + 12 \cdot 50 + 10 \cdot 70 + 4 \cdot 90}{40} = \dfrac{1980}{40} = 49{,}5$.
$\dfrac{1}{40}(5 \cdot 100 + 9 \cdot 900 + 12 \cdot 2500 + 10 \cdot 4900 + 4 \cdot 8100) = \dfrac{120000}{40} = 3000$, nên $s^2 = 3000 - 49{,}5^2 = 549{,}75$ và $s \approx 23{,}45$ (phút).
Ví dụ 2 (so sánh độ đồng đều). Hai nhóm vận động viên, mỗi nhóm 20 người, có điểm đánh giá ghép nhóm $[0; 2), [2; 4), [4; 6), [6; 8)$ với tần số: nhóm A: 2; 8; 8; 2 và nhóm B: 5; 5; 5; 5. Nhóm nào đồng đều hơn?
Cả hai nhóm có $\overline{x} = 4$ và cùng khoảng biến thiên $R = 8$. Phương sai nhóm A: $\dfrac{2 \cdot 9 + 8 \cdot 1 + 8 \cdot 1 + 2 \cdot 9}{20} = 2{,}6$; nhóm B: $\dfrac{5 \cdot (9 + 1 + 1 + 9)}{20} = 5$.
Phương sai nhóm A nhỏ hơn nên điểm nhóm A đồng đều hơn. Ví dụ cho thấy khoảng biến thiên đôi khi không đủ để so sánh.
3. Luyện tập
- Một mẫu ghép nhóm có các nhóm từ $[150; 155)$ đến $[175; 180)$. Tính khoảng biến thiên. Đáp số: $R = 30$.
- Một mẫu có phương sai $s^2 = 2{,}25$. Tính độ lệch chuẩn. Đáp số: $s = 1{,}5$.
- Mẫu ghép nhóm $[0; 10)$, $[10; 20)$, $[20; 30)$ có tần số 5; 10; 5. Tính phương sai. Đáp số: $\overline{x} = 15$, $s^2 = \dfrac{5 \cdot 100 + 0 + 5 \cdot 100}{20} = 50$.
Ghi nhớ
- $R$ = đầu mút phải nhóm cuối − đầu mút trái nhóm đầu.
- $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$ tính bằng công thức nội suy trong nhóm chứa tứ phân vị.
- Phương sai dùng giá trị đại diện là trung điểm mỗi nhóm; $s = \sqrt{s^2}$.
- Số đặc trưng phân tán càng nhỏ thì mẫu số liệu càng đồng đều; các giá trị tính từ mẫu ghép nhóm chỉ là giá trị xấp xỉ.