Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số toán lớp 12

1. Kiến thức cần nhớ

a) Tiệm cận ngang

Đường thẳng $y = y_0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong hai điều kiện sau thoả mãn: $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = y_0$ hoặc $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = y_0$.

b) Tiệm cận đứng

Đường thẳng $x = x_0$ là tiệm cận đứng của đồ thị nếu ít nhất một trong các giới hạn $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$, $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x)$ bằng $+\infty$ hoặc $-\infty$.

c) Tiệm cận xiên

Đường thẳng $y = ax + b$ ($a \ne 0$) là tiệm cận xiên của đồ thị nếu $\lim\limits_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$ hoặc $\lim\limits_{x \to -\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$. Khi đó $a = \lim \dfrac{f(x)}{x}$, $b = \lim [f(x) - ax]$.

d) Các trường hợp hay gặp

Hàm số	Tiệm cận đứng	Tiệm cận ngang / xiên
$y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ ($c \ne 0$, $ad - bc \ne 0$)	$x = -\dfrac{d}{c}$	ngang $y = \dfrac{a}{c}$
$y = \dfrac{ax^2 + bx + c}{mx + n}$ (tử không chia hết cho mẫu)	$x = -\dfrac{n}{m}$	xiên: lấy phần nguyên của phép chia đa thức
$y = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ với bậc $P$ nhỏ hơn bậc $Q$	tại nghiệm của $Q$ không triệt tiêu với tử	ngang $y = 0$

Chú ý: nếu $x_0$ vừa là nghiệm của tử vừa là nghiệm của mẫu, phải rút gọn rồi tính giới hạn; có thể $x = x_0$ không là tiệm cận đứng.

2. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của đồ thị $y = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$.

$\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{2x - 1}{x + 1} = 2$ nên $y = 2$ là tiệm cận ngang. $\lim\limits_{x \to -1^+} \dfrac{2x - 1}{x + 1} = -\infty$ (tử dần tới $-3$, mẫu dần tới $0^+$) nên $x = -1$ là tiệm cận đứng.

Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị $y = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}$.

Chia đa thức: $y = x + \dfrac{1}{x - 1}$. Vì $\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{x - 1} = 0$ nên $y = x$ là tiệm cận xiên. Tại $x = 1$ tử bằng $1 \ne 0$, mẫu bằng 0 nên $x = 1$ là tiệm cận đứng. Đồ thị không có tiệm cận ngang.

Ví dụ 3. Tìm các tiệm cận của đồ thị $y = \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}$.

$y = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 1)(x - 2)} = \dfrac{x + 2}{x - 1}$ với $x \ne 2$. Tại $x = 2$: $\lim\limits_{x \to 2} y = 4$ (hữu hạn) nên $x = 2$ không là tiệm cận đứng. Tiệm cận đứng duy nhất là $x = 1$; tiệm cận ngang $y = 1$.

Ví dụ 4 (thực tế). Một xưởng in có chi phí cố định 2 000 nghìn đồng và chi phí 50 nghìn đồng cho mỗi cuốn sách. Chi phí trung bình cho một cuốn khi in $x$ cuốn là $\overline{C}(x) = \dfrac{50x + 2000}{x}$. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị và nêu ý nghĩa.

$\lim\limits_{x \to +\infty} \overline{C}(x) = 50$, nên tiệm cận ngang là $y = 50$. Ý nghĩa: in càng nhiều, chi phí trung bình mỗi cuốn càng giảm và tiến gần tới 50 nghìn đồng nhưng không bao giờ thấp hơn mức đó.

3. Luyện tập

Tìm tiệm cận của $y = \dfrac{3x + 2}{1 - x}$. Đáp số: tiệm cận đứng $x = 1$, tiệm cận ngang $y = -3$.
Tìm tiệm cận của $y = \dfrac{x^2 + 2x}{x + 1}$. Đáp số: $y = x + 1 - \dfrac{1}{x + 1}$; tiệm cận đứng $x = -1$, tiệm cận xiên $y = x + 1$.
Tìm tiệm cận ngang của $y = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}$. Đáp số: $y = 1$ (khi $x \to +\infty$) và $y = -1$ (khi $x \to -\infty$); ngoài ra có tiệm cận đứng $x = 0$.

Ghi nhớ

Tiệm cận ngang: xét giới hạn khi $x \to \pm\infty$; tiệm cận đứng: xét giới hạn một bên tại điểm mẫu bằng 0.
Luôn kiểm tra nghiệm chung của tử và mẫu trước khi kết luận tiệm cận đứng.
Hàm chứa $\sqrt{x^2 + \dots}$ có thể có hai tiệm cận ngang khác nhau ở $+\infty$ và $-\infty$.
Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất (không chia hết) có tiệm cận xiên là phần thương của phép chia.