Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số
Cập nhật 17/10/2026 · 10 lượt xem
1. Kiến thức cần nhớ
a) Hàm số đồng biến, nghịch biến
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $K$. Hàm số đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi $x_1 \lt x_2$ thuộc $K$ ta có $f(x_1) \lt f(x_2)$; hàm số nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu $x_1 \lt x_2$ kéo theo $f(x_1) \gt f(x_2)$. Trên đồ thị, hàm đồng biến “đi lên” từ trái sang phải, hàm nghịch biến “đi xuống”.
Định lí (dấu hiệu đơn điệu). Giả sử $f$ có đạo hàm trên khoảng $K$.
- Nếu $f'(x) \ge 0$ với mọi $x \in K$ và $f'(x) = 0$ chỉ tại hữu hạn điểm thì $f$ đồng biến trên $K$.
- Nếu $f'(x) \le 0$ với mọi $x \in K$ và $f'(x) = 0$ chỉ tại hữu hạn điểm thì $f$ nghịch biến trên $K$.
Các bước xét tính đơn điệu: (1) tìm tập xác định; (2) tính $f'(x)$, tìm các điểm làm $f'(x) = 0$ hoặc $f'(x)$ không xác định; (3) sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần, xét dấu $f'(x)$ và lập bảng biến thiên; (4) kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến.
b) Cực trị của hàm số
Điểm $x_0$ là điểm cực đại của $f$ nếu tồn tại khoảng $(a;b)$ chứa $x_0$ sao cho $f(x) \lt f(x_0)$ với mọi $x \in (a;b)$, $x \ne x_0$. Khi đó $f(x_0)$ là giá trị cực đại, điểm $M(x_0; f(x_0))$ là điểm cực đại của đồ thị. Định nghĩa điểm cực tiểu tương tự với bất đẳng thức ngược lại.
- Dấu hiệu 1: nếu $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ đi qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại; đổi dấu từ âm sang dương thì $x_0$ là điểm cực tiểu. Nếu $f'$ không đổi dấu (chẳng hạn $x_0$ là nghiệm kép) thì $x_0$ không là điểm cực trị.
- Dấu hiệu 2: nếu $f'(x_0) = 0$ và $f''(x_0) \lt 0$ thì $x_0$ là điểm cực đại; nếu $f'(x_0) = 0$ và $f''(x_0) \gt 0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu.
Lưu ý: “giá trị cực đại” là giá trị lớn nhất trong một lân cận nhỏ, chưa chắc là giá trị lớn nhất trên toàn tập xác định; giá trị cực đại có thể nhỏ hơn giá trị cực tiểu.
2. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$.
Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Ta có $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$; $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
| $x$ | $-\infty$ … $0$ | $0$ … $2$ | $2$ … $+\infty$ |
|---|---|---|---|
| $y'$ | $+$ | $-$ | $+$ |
| $y$ | tăng đến $2$ | giảm từ $2$ xuống $-2$ | tăng từ $-2$ |
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$, nghịch biến trên $(0; 2)$. Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$, $y_{\text{CĐ}} = 2$; đạt cực tiểu tại $x = 2$, $y_{\text{CT}} = -2$.
Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số $y = x^4 - 2x^2 + 3$.
$y' = 4x^3 - 4x = 4x(x - 1)(x + 1)$, $y' = 0 \Leftrightarrow x \in \{-1; 0; 1\}$. Xét dấu: $y' \lt 0$ trên $(-\infty; -1)$ và $(0; 1)$; $y' \gt 0$ trên $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$.
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = \pm 1$ với $y_{\text{CT}} = 2$ và đạt cực đại tại $x = 0$ với $y_{\text{CĐ}} = 3$.
Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của hàm số $y = \dfrac{x + 1}{x - 2}$.
$D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$, $y' = \dfrac{1 \cdot (-2) - 1 \cdot 1}{(x - 2)^2} = \dfrac{-3}{(x - 2)^2} \lt 0$ với mọi $x \ne 2$. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$, không có cực trị.
Chú ý: không được nói “nghịch biến trên $\mathbb{R} \setminus \{2\}$”, vì chẳng hạn $f(0) = -\dfrac{1}{2} \lt f(3) = 4$.
Ví dụ 4. Tìm $m$ để hàm số $y = \dfrac{x^3}{3} - mx^2 + 4x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
$y' = x^2 - 2mx + 4$. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y' \ge 0$ với mọi $x$, tức là tam thức có $\Delta' = m^2 - 4 \le 0 \Leftrightarrow -2 \le m \le 2$. (Khi $m = \pm 2$, $y' = (x \mp 2)^2$ chỉ bằng 0 tại một điểm nên vẫn thoả mãn.)
3. Luyện tập
- Tìm cực trị của hàm số $y = -x^3 + 3x + 1$. Đáp số: cực tiểu tại $x = -1$, $y_{\text{CT}} = -1$; cực đại tại $x = 1$, $y_{\text{CĐ}} = 3$.
- Xét tính đơn điệu của $y = x - 2\ln x$. Đáp số: nghịch biến trên $(0; 2)$, đồng biến trên $(2; +\infty)$; cực tiểu $y_{\text{CT}} = 2 - 2\ln 2$.
- Tìm cực trị của $y = \dfrac{x^2 + 3}{x + 1}$. Đáp số: $y' = \dfrac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2}$; cực đại tại $x = -3$, $y_{\text{CĐ}} = -6$; cực tiểu tại $x = 1$, $y_{\text{CT}} = 2$.
- Hàm số $y = x^3 + 3x + 5$ có cực trị không? Đáp số: không, vì $y' = 3x^2 + 3 \gt 0$ với mọi $x$.
Ghi nhớ
- $f' \gt 0$ trên khoảng $\Rightarrow$ đồng biến; $f' \lt 0$ $\Rightarrow$ nghịch biến (cho phép $f' = 0$ tại hữu hạn điểm).
- Cực trị xảy ra tại điểm mà $f'$ đổi dấu; nghiệm kép của $f'$ không phải điểm cực trị.
- Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định và không có cực trị.
- $ax^2 + bx + c \ge 0$ với mọi $x$ $\Leftrightarrow$ $a \gt 0$ và $\Delta \le 0$ — công cụ chính cho bài toán tham số.