Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số toán lớp 12

1. Kiến thức cần nhớ

a) Sơ đồ khảo sát hàm số

Tìm tập xác định của hàm số.
Xét sự biến thiên: tính $y'$, tìm các điểm làm $y' = 0$ hoặc không xác định; tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận (nếu có); lập bảng biến thiên; kết luận khoảng đơn điệu và cực trị.
Vẽ đồ thị: xác định giao điểm với các trục toạ độ, một số điểm đặc biệt, rồi nối theo đúng bảng biến thiên.

b) Một số dạng đồ thị

Hàm số	Đặc điểm
$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \ne 0$)	Có 2 cực trị khi $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt, nếu không thì không có cực trị. Đồ thị nhận điểm uốn $I(x_0; y(x_0))$ với $y''(x_0) = 0$ làm tâm đối xứng. Khi $a \gt 0$, nhánh phải đi lên; $a \lt 0$, nhánh phải đi xuống.
$y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$	Hai nhánh hyperbol, tiệm cận đứng $x = -\dfrac{d}{c}$, tiệm cận ngang $y = \dfrac{a}{c}$; giao điểm hai tiệm cận là tâm đối xứng.
$y = \dfrac{ax^2 + bx + c}{mx + n}$	Có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên; giao điểm của chúng là tâm đối xứng; có hai cực trị hoặc không có cực trị.

c) Biện luận số nghiệm bằng đồ thị

Số nghiệm của phương trình $f(x) = m$ bằng số giao điểm của đồ thị $y = f(x)$ với đường thẳng nằm ngang $y = m$. Số giao điểm của hai đồ thị $y = f(x)$ và $y = g(x)$ bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm $f(x) = g(x)$.

2. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + 1$.

$D = \mathbb{R}$; $y' = 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$. $\lim\limits_{x \to +\infty} y = +\infty$, $\lim\limits_{x \to -\infty} y = -\infty$.

Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$, nghịch biến trên $(-1; 1)$; cực đại $(-1; 3)$, cực tiểu $(1; -1)$.

$y'' = 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$, đồ thị nhận $I(0; 1)$ làm tâm đối xứng; đồ thị cắt trục tung tại $(0; 1)$. Ta vẽ đường cong đi lên đến $(-1; 3)$, đi xuống qua $I(0;1)$ đến $(1; -1)$ rồi đi lên.

Ví dụ 2. Dựa vào đồ thị ở ví dụ 1, biện luận số nghiệm của phương trình $x^3 - 3x + 1 = m$.

Đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị tại 3 điểm khi $-1 \lt m \lt 3$; tại 2 điểm khi $m = -1$ hoặc $m = 3$; tại 1 điểm khi $m \lt -1$ hoặc $m \gt 3$.

Ví dụ 3. Khảo sát hàm số $y = \dfrac{x + 2}{x - 1}$.

$D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$, $y' = \dfrac{-3}{(x - 1)^2} \lt 0$: hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$. Tiệm cận đứng $x = 1$, tiệm cận ngang $y = 1$, tâm đối xứng $I(1; 1)$. Đồ thị cắt trục hoành tại $(-2; 0)$, cắt trục tung tại $(0; -2)$.

Ví dụ 4. Tìm cực trị và tiệm cận của $y = \dfrac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$.

Viết $y = x - 1 + \dfrac{1}{x - 1}$. Khi đó $y' = 1 - \dfrac{1}{(x - 1)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Cực đại $(0; -2)$, cực tiểu $(2; 2)$. Tiệm cận đứng $x = 1$, tiệm cận xiên $y = x - 1$, tâm đối xứng $I(1; 0)$.

3. Luyện tập

Tìm cực trị và tâm đối xứng của đồ thị $y = -x^3 + 3x^2$. Đáp số: cực tiểu $(0; 0)$, cực đại $(2; 4)$, tâm đối xứng $(1; 2)$.
Đồ thị $y = x^3 - 3x + 1$ cắt đường thẳng $y = 2$ tại mấy điểm? Đáp số: 3 điểm (vì $-1 \lt 2 \lt 3$).
Tìm tâm đối xứng của đồ thị $y = \dfrac{2x - 3}{x + 1}$. Đáp số: $I(-1; 2)$.

Ghi nhớ

Khảo sát theo đúng ba bước: tập xác định – sự biến thiên – đồ thị.
Đồ thị hàm bậc ba đối xứng qua điểm uốn; đồ thị phân thức đối xứng qua giao điểm hai tiệm cận.
Số nghiệm của $f(x) = m$ là số giao điểm của đồ thị với đường thẳng $y = m$.
Nghiệm kép của phương trình hoành độ ứng với điểm tiếp xúc của hai đồ thị.