Bài 5. Vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian toán lớp 12

1. Kiến thức cần nhớ

a) Vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian được định nghĩa giống trong mặt phẳng: là đoạn thẳng có hướng. Các phép cộng, trừ, nhân với một số và các quy tắc ba điểm, hình bình hành vẫn đúng. Thêm quy tắc hình hộp: với hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$.

Tích vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$; $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

b) Hệ trục toạ độ Oxyz

Hệ gồm ba trục $Ox, Oy, Oz$ đôi một vuông góc với các vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$. Nếu $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ thì $\vec{u} = (x; y; z)$. Điểm $M$ có toạ độ $(x; y; z)$ khi $\overrightarrow{OM} = (x; y; z)$.

c) Biểu thức toạ độ

Cho $\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$, $\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)$, $A(x_A; y_A; z_A)$, $B(x_B; y_B; z_B)$.

$\vec{a} \pm \vec{b} = (a_1 \pm b_1; a_2 \pm b_2; a_3 \pm b_3)$; $k\vec{a} = (ka_1; ka_2; ka_3)$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$; $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$; $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.
$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$, $AB = |\overrightarrow{AB}|$; trung điểm $M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}; \dfrac{y_A + y_B}{2}; \dfrac{z_A + z_B}{2}\right)$; trọng tâm tam giác: trung bình cộng toạ độ ba đỉnh.
Tích có hướng: $[\vec{a}, \vec{b}] = (a_2b_3 - a_3b_2; a_3b_1 - a_1b_3; a_1b_2 - a_2b_1)$. Vectơ này vuông góc với cả $\vec{a}$ và $\vec{b}$; diện tích tam giác $ABC$ là $S = \dfrac{1}{2}\left|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]\right|$.

2. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Cho $\vec{a} = (1; -2; 3)$, $\vec{b} = (2; 0; -1)$. Tính $\vec{a} + \vec{b}$, $2\vec{a} - \vec{b}$, $\vec{a} \cdot \vec{b}$, $|\vec{a}|$.

$\vec{a} + \vec{b} = (3; -2; 2)$; $2\vec{a} - \vec{b} = (2 - 2; -4 - 0; 6 + 1) = (0; -4; 7)$; $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 + 0 - 3 = -1$; $|\vec{a}| = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.

Ví dụ 2. Cho $A(1; 0; 2)$, $B(3; -2; 4)$, $C(0; 1; -1)$. Tìm trung điểm $M$ của $AB$ và trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

$M(2; -1; 3)$. $G\left(\dfrac{1 + 3 + 0}{3}; \dfrac{0 - 2 + 1}{3}; \dfrac{2 + 4 - 1}{3}\right) = \left(\dfrac{4}{3}; -\dfrac{1}{3}; \dfrac{5}{3}\right)$.

Ví dụ 3. Tính góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (1; 1; 0)$ và $\vec{v} = (0; 1; 1)$.

$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{0 + 1 + 0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}$, nên $(\vec{u}, \vec{v}) = 60^\circ$.

Ví dụ 4. Cho $A(1; 0; 0)$, $B(0; 2; 0)$, $C(0; 0; 2)$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

$\overrightarrow{AB} = (-1; 2; 0)$, $\overrightarrow{AC} = (-1; 0; 2)$, $[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = (2 \cdot 2 - 0 \cdot 0; 0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 2; (-1) \cdot 0 - 2 \cdot (-1)) = (4; 2; 2)$.

$S = \dfrac{1}{2}\sqrt{16 + 4 + 4} = \dfrac{1}{2}\sqrt{24} = \sqrt{6}$.

3. Luyện tập

Tính độ dài vectơ $\vec{a} = (2; -1; 2)$. Đáp số: $3$.
Cho $A(1; 2; 3)$, $B(2; 0; 1)$, $C(4; 1; 0)$. Tìm $D$ để $ABCD$ là hình bình hành. Đáp số: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ nên $D(3; 3; 2)$.
Tính $[\vec{a}, \vec{b}]$ với $\vec{a} = (1; 2; 0)$, $\vec{b} = (0; 1; 3)$. Đáp số: $(6; -3; 1)$.
Ba lực đôi một vuông góc có độ lớn 2 N, 3 N, 6 N cùng tác dụng vào một vật. Tính độ lớn hợp lực. Đáp số: $\sqrt{4 + 9 + 36} = 7$ N.

Ghi nhớ

Toạ độ vectơ $\overrightarrow{AB}$ = toạ độ điểm cuối trừ toạ độ điểm đầu.
Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng bằng 0; cùng phương khi tích có hướng bằng $\vec{0}$.
Diện tích tam giác bằng nửa độ dài tích có hướng của hai vectơ cạnh.
Mọi công thức trong mặt phẳng Oxy đều mở rộng tự nhiên bằng cách thêm thành phần thứ ba.