Bài 7. Nguyên hàm toán lớp 12

1. Kiến thức cần nhớ

a) Khái niệm

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $K$. Hàm số $F(x)$ được gọi là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in K$. Nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ thì mọi nguyên hàm của $f$ đều có dạng $F(x) + C$ ($C$ là hằng số), kí hiệu

$\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + C.$

Mọi hàm số liên tục trên $K$ đều có nguyên hàm trên $K$.

b) Tính chất

$\displaystyle\int f'(x)\,dx = f(x) + C$.
$\displaystyle\int k f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$ với hằng số $k \ne 0$.
$\displaystyle\int [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$.

c) Bảng nguyên hàm cơ bản

Hàm số	Nguyên hàm	Hàm số	Nguyên hàm
$0$	$C$	$e^x$	$e^x + C$
$x^\alpha$ ($\alpha \ne -1$)	$\dfrac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C$	$a^x$ ($0 \lt a \ne 1$)	$\dfrac{a^x}{\ln a} + C$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\|x\| + C$	$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$	$\dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\tan x + C$
$\dfrac{1}{\sin^2 x}$	$-\cot x + C$	$k$ (hằng số)	$kx + C$

Để kiểm tra một kết quả, chỉ cần lấy đạo hàm của nguyên hàm vừa tìm và so sánh với hàm số ban đầu.

2. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Tìm $\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx$.

$\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx = 3 \cdot \dfrac{x^3}{3} - 4 \cdot \dfrac{x^2}{2} + 5x + C = x^3 - 2x^2 + 5x + C$.

Ví dụ 2. Tìm $\displaystyle\int \left(2e^x - \dfrac{3}{x} + \sin x\right)dx$ trên $(0; +\infty)$.

Kết quả: $2e^x - 3\ln x - \cos x + C$ (trên $(0; +\infty)$ thì $|x| = x$).

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x) = 2x + 1$ thoả mãn $F(1) = 5$.

$F(x) = x^2 + x + C$. Từ $F(1) = 2 + C = 5$ suy ra $C = 3$. Vậy $F(x) = x^2 + x + 3$.

Ví dụ 4. Tìm $\displaystyle\int \dfrac{(x + 1)^2}{x}\,dx$ trên $(0; +\infty)$.

Khai triển: $\dfrac{(x + 1)^2}{x} = x + 2 + \dfrac{1}{x}$. Do đó $\displaystyle\int \dfrac{(x + 1)^2}{x}\,dx = \dfrac{x^2}{2} + 2x + \ln x + C$.

Ví dụ 5 (chuyển động). Một ô tô đang chạy thì hãm phanh, vận tốc $v(t) = 10 - 2t$ (m/s), $t$ tính bằng giây kể từ lúc hãm. Tìm quãng đường $s(t)$ xe đi được sau $t$ giây và quãng đường đến khi dừng.

Quãng đường là nguyên hàm của vận tốc: $s(t) = 10t - t^2 + C$, với $s(0) = 0$ nên $C = 0$. Xe dừng khi $v(t) = 0 \Leftrightarrow t = 5$; quãng đường $s(5) = 50 - 25 = 25$ m.

3. Luyện tập

$\displaystyle\int \tan^2 x\,dx$. Đáp số: $\tan x - x + C$ (vì $\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1$).
$\displaystyle\int 3^x\,dx$. Đáp số: $\dfrac{3^x}{\ln 3} + C$.
$\displaystyle\int \sqrt{x}\,dx$. Đáp số: $\dfrac{2}{3}x\sqrt{x} + C$.
Tìm $F$ là nguyên hàm của $f(x) = \cos x$ với $F(0) = 2$. Đáp số: $F(x) = \sin x + 2$.

Ghi nhớ

$F$ là nguyên hàm của $f$ khi và chỉ khi $F' = f$; hai nguyên hàm sai khác một hằng số.
Thuộc bảng nguyên hàm cơ bản, đặc biệt dấu trừ ở $\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C$.
Biến đổi hàm số thành tổng các hàm cơ bản trước khi lấy nguyên hàm.
Điều kiện kiểu $F(x_0) = y_0$ giúp xác định hằng số $C$.