Bài 10. Xác suất có điều kiện, công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes toán lớp 12

1. Kiến thức cần nhớ

a) Xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) \gt 0$. Xác suất của $A$ với điều kiện $B$ đã xảy ra là

$P(A \mid B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)}.$

Khi các kết quả đồng khả năng, có thể tính trực tiếp: $P(A \mid B) = \dfrac{n(AB)}{n(B)}$ — tức là thu hẹp không gian mẫu về $B$.

b) Công thức nhân xác suất

$P(AB) = P(B) \cdot P(A \mid B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$. Nếu $A$ và $B$ độc lập thì $P(A \mid B) = P(A)$ và $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$.

c) Công thức xác suất toàn phần

Nếu $0 \lt P(B) \lt 1$ thì $P(A) = P(B) \cdot P(A \mid B) + P(\overline{B}) \cdot P(A \mid \overline{B})$.

d) Công thức Bayes

Với $P(A) \gt 0$, $0 \lt P(B) \lt 1$: $P(B \mid A) = \dfrac{P(B) \cdot P(A \mid B)}{P(B) \cdot P(A \mid B) + P(\overline{B}) \cdot P(A \mid \overline{B})}$.

Công thức Bayes cho phép “cập nhật” xác suất của nguyên nhân $B$ sau khi quan sát được kết quả $A$. Sơ đồ hình cây giúp trình bày rõ: nhánh thứ nhất ghi $P(B)$, $P(\overline{B})$; nhánh thứ hai ghi các xác suất có điều kiện; xác suất mỗi đường đi bằng tích các xác suất trên đường đi đó.

2. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy lần lượt 2 bi, không hoàn lại. Tính xác suất lần thứ hai lấy được bi đỏ, biết lần thứ nhất lấy được bi đỏ; và xác suất cả hai bi đều đỏ.

Sau khi lấy 1 bi đỏ, hộp còn 4 đỏ và 3 xanh, nên xác suất cần tìm là $\dfrac{4}{7}$. Theo công thức nhân: $P(\text{cả hai đỏ}) = \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{5}{14}$.

Ví dụ 2. Lớp 12A có 40 học sinh, trong đó 18 bạn thích môn Ngữ văn, và có 10 bạn thích cả Toán lẫn Ngữ văn. Chọn ngẫu nhiên một bạn thích Ngữ văn. Tính xác suất bạn đó cũng thích Toán.

Không gian mẫu thu hẹp còn 18 bạn thích Ngữ văn, trong đó 10 bạn thích Toán: $P = \dfrac{10}{18} = \dfrac{5}{9}$.

Ví dụ 3 (toàn phần và Bayes). Một nhà máy có hai phân xưởng: phân xưởng I làm ra 60% sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 2%; phân xưởng II làm ra 40% sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 3%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy.

Gọi $B$: “sản phẩm do phân xưởng I làm ra”, $A$: “sản phẩm là phế phẩm”. Xác suất toàn phần: $P(A) = 0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}03 = 0{,}024$.

Nếu sản phẩm lấy ra là phế phẩm, xác suất nó do phân xưởng I làm ra là $P(B \mid A) = \dfrac{0{,}012}{0{,}024} = 0{,}5$.

Ví dụ 4 (xét nghiệm). Một bệnh có tỉ lệ mắc trong cộng đồng là 1%. Xét nghiệm cho kết quả dương tính với 95% người mắc bệnh và dương tính (nhầm) với 5% người không mắc bệnh. Một người có kết quả dương tính; tính xác suất người đó thật sự mắc bệnh.

$P(+) = 0{,}01 \cdot 0{,}95 + 0{,}99 \cdot 0{,}05 = 0{,}0095 + 0{,}0495 = 0{,}059$. Theo Bayes: $P(\text{bệnh} \mid +) = \dfrac{0{,}0095}{0{,}059} \approx 0{,}161$, tức chỉ khoảng 16,1%. Kết quả bất ngờ này là do bệnh hiếm gặp, nên số người dương tính nhầm nhiều hơn số người bệnh thật.

3. Luyện tập

Cho $P(B) = 0{,}5$, $P(AB) = 0{,}2$. Tính $P(A \mid B)$. Đáp số: $0{,}4$.
Gieo một con xúc xắc cân đối. Biết số chấm xuất hiện là số chẵn, tính xác suất số chấm lớn hơn 3. Đáp số: $\dfrac{2}{3}$ (các mặt 4 và 6 trong ba mặt 2, 4, 6).
Cho $P(B) = 0{,}3$, $P(A \mid B) = 0{,}8$, $P(A \mid \overline{B}) = 0{,}4$. Tính $P(A)$ và $P(B \mid A)$. Đáp số: $P(A) = 0{,}52$, $P(B \mid A) = \dfrac{0{,}24}{0{,}52} = \dfrac{6}{13}$.

Ghi nhớ

$P(A \mid B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)}$: “biết $B$ xảy ra” nghĩa là thu hẹp không gian mẫu về $B$.
Công thức nhân: $P(AB) = P(B) \cdot P(A \mid B)$.
Toàn phần: cộng xác suất theo tất cả các “nhánh” dẫn tới $A$.
Bayes: xác suất một nhánh chia cho tổng các nhánh dẫn tới $A$; phân biệt rõ $P(A \mid B)$ và $P(B \mid A)$.