Bài 9. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu

1. Kiến thức cần nhớ

a) Phương trình mặt phẳng

Vectơ $\vec{n} \ne \vec{0}$ có giá vuông góc với mặt phẳng $(P)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$. Mặt phẳng qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ nhận $\vec{n} = (A; B; C)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$, hay dạng tổng quát $Ax + By + Cz + D = 0$.

• Nếu hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong $(P)$ thì $\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}]$ là một vectơ pháp tuyến.
• Phương trình theo đoạn chắn: mặt phẳng qua $A(a; 0; 0)$, $B(0; b; 0)$, $C(0; 0; c)$ ($abc \ne 0$) là $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$.
• Khoảng cách từ $M(x_0; y_0; z_0)$ đến $(P)$: $d(M, (P)) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

b) Phương trình đường thẳng

Đường thẳng $\Delta$ qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$:

• Phương trình tham số: $x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$, $z = z_0 + ct$ ($t \in \mathbb{R}$).
• Phương trình chính tắc (khi $abc \ne 0$): $\dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b} = \dfrac{z - z_0}{c}$.

Góc giữa đường thẳng (vectơ chỉ phương $\vec{u}$) và mặt phẳng (vectơ pháp tuyến $\vec{n}$): $\sin\varphi = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$. Góc giữa hai mặt phẳng: $\cos\varphi = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$.

c) Phương trình mặt cầu

Mặt cầu tâm $I(a; b; c)$, bán kính $R$: $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$. Phương trình $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ là phương trình mặt cầu khi $a^2 + b^2 + c^2 - d \gt 0$, khi đó tâm $I(a; b; c)$, bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.

2. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng qua $A(1; -2; 3)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; 1; -1)$.

Ví dụ 2. Viết phương trình mặt phẳng qua $A(1; 0; 0)$, $B(0; 2; 0)$, $C(0; 0; 3)$.

Ví dụ 3. Tính khoảng cách từ $M(1; 2; -1)$ đến $(P): 2x - y + 2z + 4 = 0$.

Ví dụ 4. Viết phương trình đường thẳng qua $A(1; 2; 3)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; -1; 1)$.

Ví dụ 5. Tìm tâm và bán kính mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z - 2 = 0$.

3. Luyện tập

1. Viết phương trình mặt phẳng qua $M(2; -1; 1)$ và song song với $(Q): x - 2y + 3z - 1 = 0$. Đáp số: $x - 2y + 3z - 7 = 0$.
2. Tìm tâm, bán kính mặt cầu $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 9$. Đáp số: $I(1; -2; 0)$, $R = 3$.
3. Tìm giao điểm của $d: x = 1 + t, y = 2t, z = -1 + t$ với $(P): x + y + z - 6 = 0$. Đáp số: $4t = 6 \Rightarrow t = \dfrac{3}{2}$, giao điểm $\left(\dfrac{5}{2}; 3; \dfrac{1}{2}\right)$.

Ghi nhớ

• Mặt phẳng cần 1 điểm và 1 vectơ pháp tuyến; đường thẳng cần 1 điểm và 1 vectơ chỉ phương.
• Hai mặt phẳng song song có cùng vectơ pháp tuyến (khác hệ số tự do).
• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng làm vectơ chỉ phương.
• So sánh $d(I, (P))$ với $R$ để xét vị trí của mặt phẳng và mặt cầu.