Bài 8. Tích phân và ứng dụng hình học của tích phân toán lớp 12

1. Kiến thức cần nhớ

a) Định nghĩa và tính chất

Cho $f$ liên tục trên $[a; b]$ và $F$ là một nguyên hàm của $f$. Tích phân từ $a$ đến $b$ của $f$ là

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(x)\Big|_a^b = F(b) - F(a)$ (công thức Newton – Leibniz).

$\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$; $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$.
$\displaystyle\int_a^b [kf(x) \pm g(x)]\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx \pm \int_a^b g(x)\,dx$.
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$ (tính chất cộng đoạn).

Ý nghĩa: nếu $v(t)$ là vận tốc thì $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$ là quãng đường vật đi được (khi $v \ge 0$) từ thời điểm $a$ đến $b$.

b) Diện tích hình phẳng

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, $y = g(x)$ và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ có diện tích

$S = \displaystyle\int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx.$

Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta tìm nghiệm của $f(x) - g(x) = 0$ trên $[a; b]$ rồi tách đoạn.

c) Thể tích

Vật thể có thiết diện vuông góc với $Ox$ tại $x$ có diện tích $S(x)$ thì $V = \displaystyle\int_a^b S(x)\,dx$. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x)$, trục $Ox$, $x = a$, $x = b$ quanh trục $Ox$: $V = \pi\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx$.

2. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Tính $\displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 2x)\,dx$ và $\displaystyle\int_0^3 |x - 1|\,dx$.

$\displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 2x)\,dx = (x^3 - x^2)\Big|_0^2 = 8 - 4 = 4$.

$\displaystyle\int_0^3 |x - 1|\,dx = \int_0^1 (1 - x)\,dx + \int_1^3 (x - 1)\,dx = \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{5}{2}$.

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$.

Hoành độ giao điểm: $x^2 = 2x \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Trên $[0; 2]$, $2x \ge x^2$ nên $S = \displaystyle\int_0^2 (2x - x^2)\,dx = \left(x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right)\Big|_0^2 = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}$.

Ví dụ 3. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = \sqrt{x}$, trục $Ox$ và $x = 4$ quanh trục $Ox$.

$V = \pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi\int_0^4 x\,dx = \pi \cdot \dfrac{x^2}{2}\Big|_0^4 = 8\pi$.

Ví dụ 4 (quãng đường). Một vật chuyển động với vận tốc $v(t) = 3t^2 + 2$ (m/s). Tính quãng đường vật đi được trong 2 giây đầu.

$s = \displaystyle\int_0^2 (3t^2 + 2)\,dt = (t^3 + 2t)\Big|_0^2 = 8 + 4 = 12$ (m).

3. Luyện tập

$\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx$. Đáp số: $e - 1$.
$\displaystyle\int_0^\pi \sin x\,dx$. Đáp số: $2$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2 - 1$ và trục hoành. Đáp số: $\dfrac{4}{3}$.
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = x$, $Ox$, $x = 3$ quanh $Ox$. Đáp số: $9\pi$.

Ghi nhớ

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, không phụ thuộc cách chọn nguyên hàm $F$.
Diện tích luôn dương: dùng $|f - g|$ và tách đoạn tại các giao điểm.
Thể tích khối tròn xoay quanh $Ox$: $V = \pi\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx$ — đừng quên $\pi$ và bình phương.
Tích phân của vận tốc theo thời gian cho quãng đường (độ dịch chuyển).